數學模型是使用數學概念和語言對系統的描述。開發數學模型的過程稱爲數學建模。

數學模型用於自然科學（如物理學、生物學、地球科學、化學）和工程學科（如計算機科學、電氣工程）以及非物理系統如社會科學（如經濟學） ,心理學、社會學、政治學）。使用數學模型來解決商業或軍事行動中的問題是運籌學領域的重要組成部分。數學模型也用於音樂、語言學和哲學（例如，大量用於分析哲學）。

模型可能有助於解釋系統並研究不同組件的影響，並預測行爲。

數學模型的元素

數學模型可以採用多種形式，包括動力系統、統計模型、微分方程或博弈論模型。這些和其他類型的模型可以重疊，給定的模型涉及各種抽象結構。通常，數學模型可以包括邏輯模型。在許多情況下，科學領域的質量取決於在理論方面開發的數學模型與可重複實驗結果的一致性程度。隨着更好的理論的發展，理論數學模型和實驗測量之間缺乏一致性通常會導致重要的進步。

數學模型分類

數學模型有不同的類型：

• 線性與非線性：如果一個數學模型中的所有算子都表現出線性，則生成的數學模型被定義爲線性。否則模型被認爲是非線性的。
  線性結構意味着可以將問題分解爲更簡單的部分，這些部分可以獨立處理和/或以不同的規模進行分析，並且在重新組合和重新調整時，獲得的結果對於初始問題仍然有效。
  非線性，即使在相當簡單的系統中，也經常與混沌和不可逆等現象相關聯. 儘管有例外，但非線性系統和模型往往比線性系統和模型更難研究。非線性問題的一種常見方法是線性化，但如果試圖研究與非線性密切相關的不可逆性等方面，這可能會出現問題。
• 靜態與動態：動態模型考慮系統狀態的時間相關變化，而靜態（或穩態）模型計算平衡狀態的系統，因此是時間不變的。動態模型通常由微分方程或差分方程表示。
• 顯式與隱式：如果整個模型的所有輸入參數都是已知的，並且輸出參數可以通過有限系列的計算來計算，則稱該模型是顯式的。但有時已知的是輸出參數，相應的輸入必須通過迭代過程求​解，例如牛頓法或布羅伊登法。在這種情況下，模型被稱爲是隱式的。例如，在給定設計熱力循環的情況下，可以明確計算噴氣發動機的物理特性，例如渦輪和噴嘴喉部區域（空氣和燃料的流量、壓力和溫度）在特定的飛行條件和功率設置下，但發動機在其他飛行條件和功率設置下的運行週期不能從恆定的物理特性明確計算。
• 離散與連續：離散模型將對象視爲離散的，例如分子模型中的粒子或統計模型中的狀態；而連續模型則以連續的方式表示對象，例如管道流動中的流體速度場、固體中的溫度和應力，以及由於點電荷而在整個模型中連續施加的電場。
• 確定性與概率（隨機）：確定性模型是這樣一種模型，其中每組變量狀態都由模型中的參數和這些變量的先前狀態集唯一確定；因此，對於給定的一組初始條件，確定性模型總是以相同的方式執行。相反，在隨機模型（通常稱爲“統計模型”）中，存在隨機性，並且變量狀態不是由唯一值描述的，而是由概率分佈描述的。
• 演繹、歸納： 演繹模型是一種基於理論的邏輯結構。歸納模型源於經驗發現和對其的概括。浮動模型既不依賴於理論也不依賴於觀察，而僅僅是對預期結構的調用。數學在經濟學之外的社會科學中的應用一直被批評爲沒有根據的模型。
• 博弈論中使用的戰略與非戰略模型在某種意義上是不同的，它們對具有不相容激勵的代理進行建模，例如拍賣中的競爭物種或投標人。戰略模型假設參與者是自主決策者，他們理性地選擇最大化其目標函數的行動。使用戰略模型的一個關鍵挑戰是定義和計算解決方案概念，例如納什均衡。戰略模型的一個有趣特性是它們將遊戲規則的推理與玩家行爲的推理分開。

數學建模複雜性

通常，模型複雜性涉及模型的簡單性和準確性之間的權衡。奧卡姆剃刀是一個與建模特別相關的原則，其基本思想是在預測能力大致相等的模型中，最簡單的模型是最理想的。雖然增加的複雜性通常會提高模型的真實性，但它會使模型難以理解和分析，並且還會帶來計算問題，包括數值不穩定性。Thomas Kuhn認爲，隨着科學的進步，在範式轉變提供徹底的簡化之前，解釋往往會變得更加複雜。

請注意，更好的準確性並不一定意味着更好的模型。統計模型容易過度擬合，這意味着模型對數據的擬合過多，失去了泛化到以前未觀察到的新事件的能力。

哲學考慮

許多類型的建模隱含地涉及有關因果關係的聲明。這通常（但不總是）適用於涉及微分方程的模型。由於建模的目的是增加我們對世界的理解，因此模型的有效性不僅取決於它對經驗觀察的擬合，還取決於它推斷模型中最初描述的情況或數據之外的情況或數據的能力。可以將其視爲定性預測和定量預測之間的區別。人們也可以爭辯說，一個模型是毫無價值的，除非它提供的洞察力超出了對正在研究的現象的直接調查已知的洞察力。

在自然科學中的意義

數學模型在自然科學中非常重要，特別是在物理學中。物理理論幾乎總是使用數學模型來表達。

縱觀歷史，已經開發出越來越精確的數學模型。牛頓定律準確地描述了許多日常現象，但在一定限度內必須使用 相對論和量子力學。

在物理學中使用理想化模型來簡化事情是很常見的。無質量繩索、點粒子、理想氣體和盒子中的粒子是物理學中使用的許多簡化模型之一。物理定律用簡單的方程表示，例如牛頓定律、麥克斯韋方程和薛定諤方程。這些定律是建立真實情況的數學模型的基礎。許多實際情況非常複雜，因此在計算機上進行了近似建模，計算上可行的模型是由基本定律或由基本定律製成的近似模型製成的。例如，分子可以通過分子軌道建模是薛定諤方程的近似解的模型。在工程中，物理模型通常是通過有限元分析等數學方法制作的。

不同的數學模型使用不同的幾何形狀，這些幾何形狀不一定是對宇宙幾何形狀的準確描述。歐幾里得幾何在經典物理學中被廣泛使用，而狹義相對論和廣義相對論是使用非歐幾里得 幾何的理論的例子。