幾何學的發展歷史橫跨數千年，從古埃及和古希臘的歐幾里得幾何，經過文藝復興時期的解析幾何和笛卡爾座標系的引入，到19世紀黎曼、洛巴切夫斯基和波亞伊提出的非歐幾里得幾何，再到20世紀愛因斯坦廣義相對論的幾何解釋，以及現代拓撲學、微分幾何等領域的不斷擴展，幾何學一直在不斷發展，爲人類對現實世界的理解提供了寶貴的工具和視角。

在我們的日常生活中，幾何形狀無處不在，從自然界的美麗花朵到人類設計的建築，再到浩瀚的宇宙結構，它們都遵循某種幾何規律。《幾何的力量》一書，深入探討了隱藏在各種現象背後的幾何學原理，爲我們提供了一個全新的視角來重新審視我們所瞭解的世界。這本書充分展示了幾何學在現實世界中的力量，使我們認識到幾何不僅是一門學科，更是一種理解世界的獨特方式。

作爲一名熱衷於數學科普的人，我非常喜歡向大家分享數學的美妙之處。在閱讀了《幾何的力量》這本書後，我發現它正是我所追求的那種能夠展示幾何學魅力的作品。

本書涵蓋了幾何學在信息、生物學、策略、民主等領域的應用，以及幾何學在藝術、哲學和教育中的重要地位。書中的實例豐富多彩，使得複雜的數學概念變得生動有趣。讀者在閱讀過程中，不僅能夠了解幾何學的基本原理，還可以領略到幾何學在現代科學和社會中的重要性和廣泛應用。

本書一開始，作者就揭示了教育領域對幾何學的誤解和誤用，對此我深表同感。僵化死板的教學方式實際上掩蓋了幾何學的真正價值。如果沒有像洛巴切夫斯基、波亞伊和黎曼這樣具有非凡想象力和創造力的人物，我們可能仍然停留在歐幾里得幾何的時代，那麼許多偉大的科學發現，如愛因斯坦場方程，或許也無法及時面世。

隨着閱讀的深入，我對作者對莫比烏斯帶和三體問題的闡述感到驚歎，

……如果想要同時跟蹤所有三個運動中的天體，那麼每個天體需要六個維度，總共十八個維度。在頁面上的圖片無法幫助你瞭解十八維稻草中有多少個孔，更不用說區分十八維稻草和十八維褲子了。我們需要一種新的、更正式的語言，這種語言將不可避免地與我們關於孔的數量的固有概念分離。這就是幾何學的運作方式：我們從物理世界中形狀的直覺開始（還能從哪裏開始呢？），我們密切分析這些形狀的外觀和運動方式，如此精確地描述它們，以至於我們在需要時可以不依賴直覺來談論它們……

此外，作者還通過龐加萊的“第四幾何（擠壓幾何）”這一概念，突顯了幾何學在物理學領域的重要地位。書中闡述了“第四幾何”對洛倫茲時空研究的深遠影響，爲我們揭示了幾何學在科學發展中所扮演的關鍵角色。在洛倫茲時空中，光速被內置到幾何中，這與擠壓平面的概念有一定的相似性。擠壓平面可以看作是相對論物理學的一個簡化版本，它假設空間只有一個維度，而不是三個維度，與時間的一個維度結合形成二維時空。儘管龐加萊提出了第四幾何的概念，但他並沒有發展出相對論。阿爾伯特·愛因斯坦在1905年從對稱性的角度推翻了物理學的傳統觀念，開創了相對論。隨後，數學家們開始將愛因斯坦的時空理論轉化爲幾何基礎。諾特在1915年建立了對稱性與守恆定律之間的基本關係，將一系列雜亂的計算整理成一個整潔的數學理論。諾特的理論爲物理學和數學界奠定了堅實的基礎，她的貢獻被永遠銘記在科學史冊中。純粹的數學被認爲是邏輯思想的詩歌，諾特和她的同行們爲我們揭示了自然界中隱藏的美麗和諧。
在經濟學領域，作者講述了巴舍利埃（法國數學家，在金融數學和隨機過程領域做出了開創性貢獻）在巴黎證券交易所觀察到的債券價格波動，提議用數學方法來分析這些運動。儘管龐加萊對將數學分析應用於人類行爲表示懷疑，但他最終對巴舍利埃的論文給予了熱情的評價。巴舍利埃的論文主要研究瞭如何確定期權的適當價格，他認爲債券價格應被視爲一個隨機過程，每天上漲或下跌。他的結論與羅斯和瑞利的結論相似，即在一定時間內，價格漫遊的距離通常與時間的平方根成正比。儘管巴舍利埃的工作沒有立即得到廣泛認可，但他的觀點後來在數學金融領域變得非常重要。例如，伯頓·馬爾基爾的投資書《華爾街隨機漫步》向大衆傳播了這一觀點，主張投資者不要試圖預測市場的漲跌，而應將資金投入指數基金。
同時，書中還講述了馬爾可夫鏈與香農信息論在通信技術領域的重要性。瓦爾科夫最初專注於純粹的抽象概率論，對實際應用並不關心。然而，最終他將自己的理論應用到了俄羅斯詩人普希金的詩歌中。馬爾科夫對普希金的《尤金·奧涅金》進行了字母分析，發現輔音和元音之間存在特定的概率關係。電子計算機的出現使得對文本的更復雜分析成爲可能。谷歌研究總監彼得·諾里格使用了一個龐大的文本語料庫來計算字母之間的概率。他發現，英語中字母序列的出現頻率受到馬爾科夫鏈的影響。通過將文本視爲字母或雙字母組序列，我們可以更深入地瞭解英語文本的結構。
克勞德·香農使用馬爾科夫鏈根據雙字母組的概率生成了類似英語的短語。進一步擴展到根據嬰兒名字列表生成名字，馬爾科夫鏈可以捕捉到不同時代的命名風格，並呈現出一定的創造性。文章提出了一個問題：是否可以將語言視爲一個馬爾科夫鏈？雖然並非完全如此，但現代馬爾科夫鏈確實可以生成類似人類語言的文本。
類似於香農的文本生成器，GPT-3也是一個基於馬爾科夫鏈的算法，其輸入是長達數百個詞的文本片段。儘管GPT-3有時生成的句子在字面上沒有意義，但它們看起來仍然像是從原文中提取出來的。文章接下來討論了想象中的克勞德·香農如何處理未曾遇到的字母組合問題。這種處理方式引出了關於文本接近度和幾何形狀的問題。
在人工智能方面，作者指出新一代機器，如AlphaGo，使用了更高級的幾何評分機制。要找到一個接近完美策略的方法，需要探索策略空間的幾何，這比繪製一棵樹（tree，一種數據結構）要困難得多。最終，解決問題的方法是依賴於最粗糙、最強大的方法：試錯。
在《幾何學的力量》的第八章，作者探討了距離如何用於描述不同類型實體之間的關係，包括地理位置、個性特徵和政治觀點。距離在地理學中被用來描述城鎮或地區之間的距離，從而描繪地圖的形狀。而在個性特徵研究中，距離用於衡量兩種特質之間的相似程度，以及在多維縮放中創建個性特徵地圖。此外，政治科學家也利用距離來衡量國會議員之間的投票相似性，並通過將議員放置在地圖上來可視化這些關係。這種方法的優點是，它能夠提供對實體之間關係的一種幾何直覺，但也存在一些限制，例如在一些情況下無法完美地匹配距離。
進而，作者介紹了一種稱爲Word2vec的數學工具，可將每個單詞映射到一個三百維空間中的一個點。通過分析單詞之間的幾何關係，這個工具可以幫助我們更好地理解人格特質、政治觀點和語言等領域的結構。雖然三百維空間難以想象和理解，但是Word2vec等工具爲我們提供了一種獨特的方式來研究和理解我們周圍的世界。這些工具使用距離的概念來定義單詞之間的相似性，將相似的單詞放在距離不太遠的點上。然而，這些方法並不是萬能的，不能捕捉到所有類型的詞彙關係。
在此僅簡要介紹了7個主題，而《幾何的力量》整書包含了超過70個主題，它深刻地揭示了幾何學在科學、技術和人文領域中的廣泛影響，同時通過生動的實例讓讀者感受到幾何學在日常生活中的實際應用。這本書不僅爲專業人士提供了全新的視野和啓發，也讓普通讀者得以領略幾何學的優美和強大。閱讀這本書後，我們將重新認識到幾何學在現代社會中的關鍵作用，從而更加高效地運用這門學科解決實際問題，提升生活品質。
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