模形式（Modular Forms）是數學中的一個重要概念，屬於代數幾何和代數數論領域。它是一種特殊類型的函數，具有一些特殊的性質，被廣泛用於描述和研究橢圓曲線、高維代數幾何、自守表示等領域的數學對象。

模形式最初是由德國數學家Hans Maass在20世紀50年代提出的，後來被證明與模曲線、橢圓曲線、甚至於弦理論之間存在密切的聯繫。模形式有着非常美妙的數學性質，例如它們是特殊類型的亞純函數、具有模不變性等等，這些性質被廣泛用於研究模形式的性質和應用。模形式在數學中的應用非常廣泛，例如在Wiles證明費馬大定理、莫迪克猜想、橢圓曲線密碼學等領域都有着重要的應用。此外，模形式在朗蘭茲計劃中發揮着核心作用。

朗蘭茲計劃（Langlands program）是一個重要的數學研究計劃，它是由加拿大數學家羅伯特·朗蘭茲（Robert Langlands）在20世紀60年代初提出的。該計劃旨在探索數學中不同領域之間的聯繫，尤其是代數數論、代數幾何、調和分析、表示論和自守表示等領域之間的聯繫。

在這些背景下出現的模形式是一種特殊類型的形式，即所謂的同餘模形式（congruence modular forms），它擁有額外的結構，使得它們更易於研究。但是非同餘模形式更爲普遍，大大超過了同餘模形式。如果你隨機取一個模形式，它是非同餘模形式的概率大概爲1。

然而，數學家對非同餘模形式知之甚少。很難對這樣一類一般的函數做出全面的陳述，而且用於研究模形式的工具在非同餘的情況下也會失效。這使得數學家們甚至不確定他們應該試圖證明什麼。

然而，一個關於非同餘模形式的主要猜想長期以來一直引人注目。這個猜想就是無界分母猜想（unbounded denominators conjecture）。什麼是無界分母猜想呢？

1968年，數學家奧利弗·阿特金（Oliver Atkin）和彼得·斯溫納頓-戴爾（Peter Swinnerton-Dyer）注意到，同餘和非同餘模形式是非常不同的，因爲非同餘模形式缺乏同餘模形式所具有的對稱性。這就是無界分母猜想。如果成立，它將使數學家們在非同餘對象的領域中首次站穩腳跟。該猜想還可以爲理論物理學的一個主要計劃——旨在理解稱爲共形場論的粒子相互作用模型——提供更堅實的數學基礎。

但是50多年來，沒有人能夠證明它。最終，在2021年末，三位數學家（Calegari、Dimitrov和Tang）成功地證明了它。他們的證明似乎出乎意料，採用了在這個研究領域中沒有人預料到的技術。

對稱性和結構

非同餘模形式並不總是被邊緣化的。在19世紀，數學家們剛開始發展模形式理論。這是一種特定高度對稱函數的名稱——它出現在一個稱爲複平面上半部的域中。

複平面是一種繪製複數的方法，複數有兩個部分：實部和虛部。模形式以其輸入的虛部爲正的複數爲基礎，對應於平面的上半部分。（上半平面可以很容易地映射到一個單位圓盤的內部；模形式經常使用這種映射來描述。）

模形式的對稱性是通過特殊的2乘2矩陣集合或稱爲“羣”來定義的。這些矩陣稱爲模變換，它們作用於複平面上的點，通過線性變換來保持點之間的距離和角度不變。在模形式中，這四個數字必須是整數，並且矩陣的行列式必須爲1。

有無限多個這樣的矩陣集。在某些羣中，這些矩陣可以用相對簡單的規則描述。例如，在所有矩陣中，右上角和左下角的元素可能是偶數，而其他兩個元素是奇數。或者可能右上角和左下角的元素可被11整除，而其他兩個元素則是11的倍數加1。

可以通過這種關係定義的羣——以及與這些羣相關的模形式——就是被廣泛研究過的同餘羣。但大多數2乘2矩陣集合不能以好的方式進行特徵化，使得它們及其相關的模形式成爲非同餘的。

直到20世紀30年代末，同餘模形式的研究開始超越非同餘模形式的研究。這是當德國數學家埃裏希·赫克（Erich Hecke）開發了一套工具箱，使他能夠確定模形式的許多屬性並將它們與其他重要的數學對象聯繫起來。

赫克的方法只適用於同餘羣及其模形式。非同餘羣缺乏使赫克工具箱有效的額外結構。因此，非同餘模形式註定被忽視。這並不是說它們沒有任何特殊的結構，只是這種結構隱藏在表面下。在訪問這種結構時，數學家束手無策。他們甚至不知道從何開始。

q展開式

阿特金和斯溫頓-戴爾想要更深入地瞭解非同餘模形式及其可能隱藏的祕密。爲了研究某個給定的模形式，數學家經常將其表示爲一種稱爲q展開式（一種特殊的冪級數）的無限和，然後分析該展開式的係數。已經知道，如果給定的模形式是同餘的，則其係數的分母永遠不會大於某個固定值。

在20世紀60年代，阿特金和斯溫頓-戴爾計算了許多模形式的q展開式。他們注意到，如果一個模形式是非同餘的，則其相關序列中的分母會無限增長。真的能夠這樣輕易地區分兩種模形式嗎？數學家們在1968年加州的一個會議上提出了他們的觀察結果，暗示無界分母可能是非同餘模形式的普遍特徵。這是一個非常方便的檢驗工具，對於數論學家來說非常有用。

但沒有人能夠證明無限分母猜想。

然後在2021年9月，Calegari、Dimitrov和Tang發表了一篇50頁的證明。作者希望邁出證明無界分母猜想的第一步。

回到過去的方式

Calegari、Dimitrov和Tang並沒有打算解決無界分母猜想。在2019年末，他們希望證明某個數字（類似黎曼ζ函數的一個值）是無理數——就像根號2一樣。（他們的最終目標是證明這個數字和其他類似的數字是超越數，也就是說，像π和e這樣的數字不能寫成具有整數係數的多項式方程的解。

這個問題在表面上完全不相關。但是在2021年1月1日，Dimitrov描述了一個美好的想法：也許他們在前一年開發的技術可以被重新利用來證明無限分母猜想。他們試了試，七個月內就得到了證明。

首先，他們考慮了兩個空間：所有帶有有界分母的模形式空間和所有同餘模形式空間。根據無界分母猜想，這兩個空間應該是相同的。由於這些空間滿足某些性質，數學家們只需要證明它們大小相同。他們相對容易地計算了第二個空間的大小，得到了同餘模形式的粗略計數。但是很難估算第一個空間的大小。他們必須結合許多不同的技術，包括超越數論的技術。

使用這些方法，他們證明了帶有有界分母的模形式空間最多隻能有一定的大小。這個最大的大小比同餘模形式空間的大小略大。這一步實際上是證明的“真正核心。然後這三人需要彌合兩個空間之間的差距。這將確立任何帶有有界分母的模形式都必須是同餘模形式的事實。

於是他們假設相反的情況：存在一個分母有界但不同餘的模形式。然後三人證明了這個不同餘的分母有界的模形式的存在意味着存在許多其他分母有界但不同餘的模形式。這意味着甚至一個這樣的形式也不存在。他們證明了阿特金和斯溫頓-戴爾幾十年前的猜想。

數學家對這項工作使用的技術比結果本身更感興趣。這些想法以前從未被用於研究模形式的算術。儘管模形式的研究最初是複分析領域的一部分，但當前的工作已成爲數論和代數幾何領域的研究對象。這篇新論文標誌着對複分析的迴歸，這是一種令人耳目一新的舊觀點。

尋找新理論

對於不同餘的分母猜想，它還出現在理論物理中。在20世紀70年代，數學家注意到一個叫做“怪獸羣”的物體和一個叫做“j-函數”的模形式之間有一個奇怪的聯繫。j-函數的係數恰好反映了怪獸羣的某些特性。

在數學上，怪獸羣（Monster group）是一個非常大的、高度對稱的離散數學對象，它具有很多神祕的性質，被認爲是“最大的簡單羣”，在數學中有着重要的地位。

而j-函數（j-invariant），則是一種特殊的橢圓函數的不變量，與模形式密切相關。j-函數在數學中有着廣泛的應用，包括數論、代數幾何和物理學等領域。

後來的研究表明，這種聯繫是由於這個羣和這個模形式都與一個重要的粒子相互作用模型——二維共形場論有關。

二維共形場論（2D Conformal Field Theory，簡稱CFT）是理論物理學中的一個重要研究方向。它研究的是二維平面上的量子場論，特別是在共形對稱性下的理論。共形對稱性是指物理系統在放縮和旋轉下保持不變，這是一個非常強的對稱性，它在數學中也有着廣泛的應用。

但是把怪獸羣與j-函數聯繫起來的共形場論只是無限個共形場論中的一個例子。儘管這些理論不能描述我們生活的宇宙，但理解它們可以揭示更現實的量子場論可能的行爲方式。

因此，物理學家繼續通過研究它們相關的模形式來研究共形場論（在這個背景下，物理學家使用更一般的模形式概念，稱爲向量值模形式）。爲了理解特定的共形場論，你必須證明它的模形式是同餘的。

將所有共形場論分類至關重要，物理學家稱之爲模量引導計劃。一旦你知道它是同餘的模形式，這就讓你在這個計劃中取得了巨大的進展。物理學家開發了一個框架，允許假設模形式具有同餘屬性（但這並不等同於有一個嚴格的數學證明）。

Calegari，Dimitrov和Tang對無界分母猜想的證明突破了這一點。這是因爲事實證明，與共形場論相關聯的模形式總是具有整數係數。根據定義，整數的分母爲1，這意味着它們的分母總是有限的。由於無界分母猜想只與同餘模形式相關聯，因此不再需要做出假設。你甚至不需要了解共形場論的任何內容。新證明自動地爲所有這些情況提供了同餘。

這是幾十年來一直存在的問題。現在它終於得到解決了，這是一個奇蹟。